{VERSION 3 0 "IBM INTEL NT" "3.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "Befehlstext" -1 256 "Courier" 1 12 255 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 8 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 }{PSTYLE "Author" 0 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 8 8 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Kor rektur" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 12 255 0 255 1 2 1 2 0 0 2 1 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 256 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Dreiecke" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Gerhard Bitsch, 19.01.00" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 229 "Gegeben ist ein Dreieck durch die Punkte A[ax,ay], B[bx,by], C[ cx,cy]. Gesucht sind die Gleichungen und L\344ngen der Seiten, H\366he n und Seitenhalbierenden, Mittelpunkt und Radius des Umkreises, der Sc hwerpunkt und die Innenwinkel." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "restart:with(plots):with(plo ttools):" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Hilfsfunktionen" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "Es ist n\374tzlich, einige Hilfsfunktion en zu definieren, die sp\344ter f\374r Aufgabenl\366sungen verwendet w erden k\366nnen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 4 " " 0 "" {TEXT -1 38 "Geradenfunktion (Punkt-Steigungs-Form)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Die Funktion einer Geraden kann festgelegt werde n durch Angabe eines Punktes A [xa,ya], durch den die Gerade gehen sol l und der Steigung m der Geraden:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "gerade:=(A,m)->unapply(m*(x-A[1])+A[2],x):" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Beispiel zur Anwendung:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "g1:=gerade([2,3],2);" }}}} {SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Steigung einer Gerade aus zwei Pu nkten berechnen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "Man kann die Steigung \+ einer Geraden durch zwei Punkte A[xa,ya] und B[xb,yb] wie folgt berech nen:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "steigung:=(A,B)->if \+ (A[1]=B[1]) then infinity; else (A[2]-B[2])/(A[1]-B[1]); fi:" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Dabei wird die Steigung mit dem Sy mbol " }{XPPEDIT 18 0 "infinity;" "6#%)infinityG" }{TEXT -1 181 " (\"u nendlich\", englisch \"infinity\") angegeben, wenn die beiden Punkte \+ auf einer Parallelen zur y-Achse liegen. Wir k\366nnen in diesem Fall \+ nat\374rlich keine Funktionsgleichung angeben." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "steigung([1,1],[3,2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "steigung([3,5],[3,7]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Gera denfunktion (2-Punkte-Form)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "Man kann \+ leicht auch die Funktion einer Geraden aus zwei auf ihr liegenden Punk ten A und B aufstellen:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "g erade2P:=(A,B)->gerade(A,steigung(A,B)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "g2:=gerade2P([1,1],[3,2]);" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 19 "L\344nge einer Strecke" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "laenge:=(A,B)->sqrt((A[1]-B[1])^2+(A[2]-B[2])^2);" }} }}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Umwandlung Gradma\337 in Bogenm a\337 und umgekehrt" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Einem Bogen der L \344nge " }{XPPEDIT 18 0 "Pi;" "6#%#PiG" }{TEXT -1 78 " im Einheitskre is entsprechen 180\260. Daraus ergeben sich folgende Umrechnungen:" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "deg_rad:=alpha->Pi/180*alpha ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "rad_deg:=x->evalf(x*18 0/Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "deg_rad(30);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "rad_deg(Pi/6);" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Winkel einer Geraden zur x-Achse" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 250 "Die Steigung der Geraden ist der Tangens des Winkels der Geraden mit der x-Achse. Die Funktion arctan liefert \+ zu einem gegebenen Tangens-Wert den zugeh\366rigen Winkel im Bogenma \337. Da wir in der Regel den Winkel im Gradma\337 wissen wollen, defi nieren wir:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "steigungswink el:=m->rad_deg(arctan(m));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "steigungswinkel(1);steigungswinkel(1/3*sqrt(3));steigungswinkel(sq rt(3));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Schnitt von zwei Geraden" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Sind 2 Geraden als Funktionen g1 und g2 gegeben, so k ann man die zugeh\366rigen Gleichungen in der Form y=mx+b angeben:" } }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "gleichungen:=\{y=g1(x),y=g2 (x)\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Die Funktion solve lief ert dann den Schnittpunkt (falls vorhanden):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "solve(gleichungen,\{x,y\});" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 21 "Damit definieren wir:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 54 "schnittpunkt:=(g1,g2)->solve(\{y=g1(x),y=g2(x)\},\{ x,y\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "schnittpunkt(ger ade([3,2],-2),gerade2P([1,1],[4,5]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "F\374r Spezialisten: So holt man das vorige Ergebnis in e ine Liste:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 125 "getpoint:=pr oc(lsg)\n if (has(lsg[1],x)) then\n [rhs(lsg[1]),rhs(lsg[2])]\n \+ else\n [rhs(lsg[2]),rhs(lsg[1])]\n fi;\nend:" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 63 "getpoint(schnittpunkt(gerade([3,2],-2),gerade2P([1, 1],[4,5])));" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Schnittwinkel z weier Geraden" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Die Funktion erwartet al s Eingabe die beiden Steigungen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "schnittwinkel:=(m1,m2)->stei gungswinkel(m1)-steigungswinkel(m2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "schnittwinkel(1,0.5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "schnittwinkel(0.5,1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "Bei einem negativen Ergebnis ist der Schnittwinkel der en tsprechende positive Wert." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "schnittwinkel(2.3,1);" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Mi tte einer Strecke" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "mitte:=(A,B)->[(A[1]+B[1])/2,(A[2]+B[2])/2]; " }}}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 3 " " 0 "" {TEXT -1 18 "Dreiecksberechnung" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Hier nun die Berechnung des Dreiecks " }{XPPEDIT 18 0 "Delta;" "6#%&D eltaG" }{TEXT -1 74 "ABC. Die einzelnen Plotstrukturen werden am Ende \+ zu einer zusammengefasst." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "opt:=view=[0..10,-2..8],scaling=con strained;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "A:=[2,1];B:=[7 ,3];C:=[3,6];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 93 "p1:=plot([ A,B,C,A],color=red,thickness=2):p2:=plot([A,B,C],color=red,style=point ,symbol=box):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "a:=gerade2 P(B,C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "la:=laenge(B,C); evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "b:=gerade2P(A, C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "lb:=laenge(A,C);eval f(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "c:=gerade2P(A,B); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "lc:=laenge(A,B);evalf(% );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "mittelsenkrechte:=(A, B)->gerade(mitte(A,B),-1/steigung(A,B));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "mc:=mittelsenkrechte(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "ma:=mittelsenkrechte(B,C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "mb:=mittelsenkrechte(A,C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "plotms:=plot(\{mittelsenkrechte(A,B),mitte lsenkrechte(B,C),mittelsenkrechte(A,C)\},color=cyan,linestyle=3):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 44 "UM:=getpoint(schnittpunkt(ma,mc));evalf(UM);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "uradius:=laenge(A,UM);evalf( %);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 96 "uk:=circle(UM,uradiu s,color=cyan,thickness=2):ukm:=plot([UM],style=point,symbol=box,color= blue):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "alpha:=schnittwin kel(steigung(A,C),steigung(A,B));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "beta:=schnittwinkel(steigung(A,B),steigung(B,C));" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "gamma1:=180-schnittwinkel(s teigung(A,C),steigung(B,C));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "alpha+beta+gamma1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "Fl:=lb*lc*1/2*sin(deg_rad(alpha));evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "hc:=gerade(C,-1/steigung(A,B));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "Hc:=getpoint(schnittpunkt(hc,c));ev alf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "lhc:=laenge(C,Hc );evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Fl1:=lhc*lc* 1/2;evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "ha:=gerade (A,-1/steigung(C,B));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "hb:=gerade(B,-1/steigung(A ,C));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "hpl:=plot(\{hc(x), hb(x),ha(x)\},x=0..10,color=gold,linestyle=4):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "HS:=getpoint(schnittpunkt(ha,hc));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "hspl:=plot([HS],style=point,color=g old,symbol=box):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "sa:=ger ade2P(A,mitte(B,C));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "sb: =gerade2P(B,mitte(A,C));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Mab:=mitte(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "sc:=ge rade2P(C,mitte(A,B));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Ma c:=mitte(A,C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "SP:=getpo int(schnittpunkt(sa,sc));evalf(SP);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "spl:=plot(\{sc(x),sb(x),sa(x)\},x=0..10,color=magenta ,linestyle=2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "shpl:=plo t([SP],style=point,color=magenta,symbol=box):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "display([p1,p2,plotms,uk,ukm,hpl,hspl,spl,shpl], opt,tickmarks=[10,10]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}}{MARK "2" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }